Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

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 13.7 Lineare Approximation der sin-Funktion

 
13.9 Stammfunktionen der Winkelfunktionen

Nach 13.7 und 13.8 ist

sin x dx = - cos x + C

;

cos x dx = sin x + C

in

dx = arcsin x + C  = - arccos x + D

in  ] -1 | 1 [

		1	dx = arctan x + C  = - arccot x + D	in
		1 + x²

 
13.10 Reihenentwicklung von sin und cos

Aus dem Schrankensatz bzw. aus dem globalen Monotoniesatz läßt sich der folgende Satz herleiten:

	( 1 )	Es sei  f ' g '  in  [ a | b ] . Dann ist  f (b) - f (a)  g (b) - g (a) .
		Gleichwertig ist damit:
	( 2 )	f g  in  [ a | b ]  und  f  und  g  L-stetig. Dann ist		f		g  .

In Aufgabe 21 beweisen Sie ( 1 ) und ( 2 ).

Auf die Ungleichnungskette
-	1		sin x			1
wird nach  ( 2 )  der Operator		angewendet oder man schließt nach  ( 1 )
über dem Intervall  [ 0 | x ]  und wiederholt diesen Schluss beliebig oft. Man erhält
-	x		- cos x + 1			x
-	x²		- sin x + x			x²
	2					2
-	x³		cos x - 1 +	x²		x³
	6			2		6
-	x4		sin x - x +	x³		x4
	4!			3!		4!

usw.
Schließlich ergeben sich zwei wichtige Ungleichungen:

x -

x3

+

x5

- . . . . -

x2n

sin x

x -

x3

+

x5

- . . . . +

x2n

3!

5!

2n!

3!

3!

2n!

1 -

x2

+

x4

- . . . . -

x2n+1

cos x

1 -

x2

+

x4

- . . . . +

x2n+1

2!

4!

(2n + 1)!

2!

4!

(2n + 1)!

Die Folge

xn

strebt für jedes feste  x  nach  0 .

n!

Denn ab  n = N 2x  nehmen die Glieder der Folge jeweils um mehr als die Hälfte ab. Deshalb setzt man die sin-Funktion gleich der unendlichen Reihe

	sin x  =  x -	x3	+	x5	-	x7	+ . - . . .
		3!		5!		7!
und	cos x  =  1 -	x2	+	x4	-	x6	+ . - . . .
		2!		4!		6!

Damit hat man die Möglichkeit, alle sin- und cos-Werte durch Werte ganzrationaler Funktionen beliebig genau zu approximieren. Wegen der Symetrieeigenschaften von sin und cos kann man sich dabei auf  x  aus  [ 0 | ¼ ] beschränken.

Beispiel:

sin 10°  =  sin		=		-	1	· (		)3 +	1	· (		)5 + d       mit  | d |	1	· (		)6
	18		18		6		18		120		18		720		18
		= 0,1736481					mit  | d | < 4 · 10-8

Taschenrechner: sin 10° = 0,1736482     (8-stellig)
 

Aufgaben zu 13.

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