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Oberstufe: Differential- und Integralrechnung |
Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde |
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13.9 Stammfunktionen der Winkelfunktionen
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sin x dx = - cos x + C | ; | ![]() |
cos x dx = sin x + C | in ![]() |
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dx = arcsin x + C = - arccos x + D | in ] -1 | 1 [ |
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1 | dx = arctan x + C = - arccot x + D | in ![]() |
|
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||||
1 + x² |
13.10 Reihenentwicklung von sin und cos
Aus dem Schrankensatz bzw. aus dem globalen Monotoniesatz läßt sich der folgende Satz herleiten:
( 1 ) | Es sei f ' ![]() ![]() |
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---|---|---|---|---|---|---|
Gleichwertig ist damit: | ||||||
( 2 ) | f ![]() |
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f ![]() |
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g . |
In Aufgabe 21 beweisen Sie ( 1 ) und ( 2 ).
Auf die Ungleichnungskette | |||||||
- | 1 | ![]() |
sin x | ![]() |
1 | ||
wird nach ( 2 ) der Operator | ![]() |
angewendet oder man schließt nach ( 1 ) | |||||
über dem Intervall [ 0 | x ] und wiederholt diesen Schluss beliebig oft. Man erhält | |||||||
- | x | ![]() |
- cos x + 1 | ![]() |
x | ||
- | x² | ![]() |
- sin x + x | ![]() |
x² | ||
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||||||
2 | 2 | ||||||
- | x³ | ![]() |
cos x - 1 + | x² | ![]() |
x³ | |
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6 | 2 | 6 | |||||
- | x4 | ![]() |
sin x - x + | x³ | ![]() |
x4 | |
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4! | 3! | 4! |
x - | x3 | + | x5 | - . . . . - | x2n | ![]() |
sin x | ![]() |
x - | x3 | + | x5 | - . . . . + | x2n | |
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3! | 5! | 2n! | 3! | 3! | 2n! | ||||||||||
1 - | x2 | + | x4 | - . . . . - | x2n+1 | ![]() |
cos x | ![]() |
1 - | x2 | + | x4 | - . . . . + | x2n+1 | |
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2! | 4! | (2n + 1)! | 2! | 4! | (2n + 1)! | ||||||||||
Die Folge | xn | strebt für jedes feste x nach 0 . | |||||||||||||
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n! |
sin x = x - | x3 | + | x5 | - | x7 | + . - . . . | |
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3! | 5! | 7! | |||||
und | cos x = 1 - | x2 | + | x4 | - | x6 | + . - . . . |
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2! | 4! | 6! |
Damit hat man die Möglichkeit, alle sin- und cos-Werte
durch Werte ganzrationaler Funktionen beliebig genau zu approximieren.
Wegen der Symetrieeigenschaften von sin und cos kann man sich dabei auf
]
sin 10° = sin | ![]() |
= | ![]() |
- | 1 | · ( | ![]() |
)3 + | 1 | · ( | ![]() |
)5 + d
mit | d | ![]() |
1 | · ( | ![]() |
)6 |
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18 | 18 | 6 | 18 | 120 | 18 | 720 | 18 | |||||||||
= 0,1736481 | mit | d | < 4 · 10-8 |
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14. Exponential- und Logarithmusfunktionen