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Oberstufe: Differential- und Integralrechnung |
Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde |
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Auf Intervalle bezieht sich ein etwas modifizierter Monotoniebegriff:
Definition
Die Funktion f heißt über dem Intervall I monoton steigend (monoton fallend), | |
wenn für je zwei x1, x2 ![]() |
|
x1 < x2 ![]() ![]() ![]() |
|
f heißt über I streng monoton (fallend), | |
wenn x1, x2 ![]() ![]() |
Nach Satz 2 aus 7.1 ist es naheliegend, so zu argumentieren:
Wenn an jeder Stelle x I f ' (x) > 0 ist,
dann steigt f überall in I .
Daher ist f in I monoton (sogar streng) steigend.
Das ist auch richtig,
nur erfordert der Beweis des letzten Schlusses einen höheren Aufwand als der Beweis des folgenden Satzes.
Satz 3 | Globaler Monotoniesatz | |
---|---|---|
Wenn f ' ![]() |
Beweis: (Vorbemerkung: f ' 0 in I
für alle x
I gilt f ' (x)
0 )
Es seien u, v ![]() Das Intervall [ u | v ] wird in n gleichlange Teilintervalle unterteilt mit den Teilpunkten |
|||||
u = x0, x1, x2, x3, . . . , xn = v . | |||||
Die Länge eines Teilintervalles sei h = x1 - x0 = x2 - x1 = | v - u n | . | |||
Aus dem linken Teil der Ungleichungskette ( D in 7.1 Lokale Monotoniesätze) folgt | |||||
(1) | f (x1) ![]() ![]() | also | |||
---|---|---|---|---|---|
(2) | f (x1) ![]() |
und entsprechend | |||
(3) | f (x2) ![]() |
||||
: | : | ||||
: | : | ||||
(n+1) | f (xn) ![]() |
Durch Addition der n Ungleichungen (2) bis (n+1) folgt
f (x1) + f (x2) + . . . + f (xn)
f (x0) + f (x1) + . . . + f (xn-1) - n · k h²
und daraus
f (v) f (u) - n k h²
und weiter
f (v) ![]() |
k ( v - u )² n | . |
f (v) f (u) bzw.
f (u)
f (v) ,
womit der Beweis beendet ist.
Entsprechend kann man
Satz 3* | ( Globaler Monotoniesatz ) | |
---|---|---|
Wenn f ' ![]() |
Wenn f ' ![]() ![]() |
|
Also ist nach Satz 3 die Funktion ( - f ) monoton steigend in I , also die Funktion f monoton fallend in I . |
Ist nämlich f ' = 0 in I , so ist
f ' ![]() ![]() |
|
Daher ist f in I monoton fallend und steigend, also konstant.
Damit ist bewiesen worden: |
Satz 4 | Wenn f ' = 0 in I , dann ist f in I eine konstante Funktion. |
---|
Für Anwendungen ist häufig folgende Verschärfung von Satz 3 von Interesse:
Satz 3** | Wenn f ' > 0 in ] a | b [ , und
f ' (a) ![]() ![]() dann ist f in [ a | b ] streng monoton steigend. |
---|
Beweis:
Zunächst folgt nach Satz 3, dass f in [ a | b ] monoton steigt.
Es sei also u < v in [ a | b ] .
Dann ist also
f (u) f (v) .
Wäre nun f (u) = f (v) , so wären über [ u | v ] alle
Funktionswerte mit der Ableitung f ' = 0
in [ u | v ] im Widerspruch zur Voraussetzung.
Natürlich gilt auch der zu Satz 3** duale Satz.
Beispiele:
f steigt also streng monoton von -
bis - 2 , fällt streng monoton zwischen
- 2 und + 2 und steigt wieder streng monoton rechts von 2 .
Mit diesen Ergebnissen kann man den Verlauf der Kurve skizzieren.
f (x) = x + | 1 x |
für x > 0 hat die Ableitung | ||
f ' (x) = 1 - | 1 x² |
. | ||
f ' (x) < 0 in ] 0 | 1 [
![]() |
} ![]() |
2 ist der kleinste Funktionswert |
||
f ' (x) > 0 in ] 1 | ![]() ![]() ![]() |
Die Monotoniesätze haben eine große Bedeutung, weil sie den Schluss von f ' auf f gestatten.
Die Monotoniesätze und die Beispiele legen nahe, die sog. Vorzeichenfunktion (Signum-Funktion) einzuführen.
sign x = | { | 1 | für x > 0 | ( kurz: + ) | ![]() |
||||
0 | für x = 0 | ||||||||
- 1 | für x < 0 | ( kurz: - ) |
" f steigt bei a und f (a) = 0 " bedeutet
" f wechselt bei a das Vorzeichen von - nach + "
und analog
f fällt bei a und f (a) = 0
f wechselt bei a das Vorzeichen von + nach - .
Die Aufgabe 7 enthält in ihren beiden Teilen den Beweis des Schrankensatzes.
Satz 5 | Schrankensatz | |
---|---|---|
Wenn m ![]() ![]() ![]() dann m ( v - u ) ![]() ![]() |
m ![]() |
f (v) - f (u) v - u |
![]() |
weiter zu
8. Anwendungen II