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Oberstufe: Differential- und Integralrechnung |
Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde |
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13.7 Lineare Approximation der sin-Funktion
Vorübung: Vergleiche die Werte von cos x und 1 bzw. sin x und x für | x | < 0,1 .
Wegen
( 1 ) | sin ( x + h ) = sin x · cos h + cos x · sin h |
und sin h ![]() ![]() |
( 2 ) | lx (h) = sin x + h · cos x |
sin ' x = cos x |
| R (h) | | = | sin ( x + h ) - lx (h) | = | sin x ( cos h - 1 ) + cos x ( sin h - h ) | |
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( 3 ) | ![]() |
Aus der Figur links liest man ab, da "Sehne < Bogen" :
( sin h )² + ( 1 - cos h )²
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( 4 ) | 1 - cos h ![]() |
Weiter hat das Dreieck 01L den Inhalt ½ sin h ,
der Sektor 01L den Inhalt ½ h und
der Kreisabschnitt 1L1 (dunkler grau) ist der Fläche nach kleiner als das Dreieck LM1 .
Daraus folgt
( 5 ) | | sin h - h | | ![]() |
| sin h | · | 1 - cos h | | ![]() |
| 1 - cos h | | ![]() |
2x Inhalt des Kreisabschnitts |
2x Inhalt des Dreiecks LM1 |
beachte auch | sin h | ![]() |
| sin ( x + h ) - lx (h) | = | R (h) |
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13.8 Die Ableitung weiterer Winkelfunktionen und ihrer Umkehrung
Wegen | cos x = sin ( x + ½ ![]() |
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folgt nach der Kettenregel |
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cos ' x = | cos ( x + ½ ![]() |
- sin x | (Kontrolle: Einheitskreis) | ||||||||||
Mit Hilfe der Quotientenregel erhalten Sie über dem Definitionsbereich |
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Die Winkelfunktionen sind nur abschnittsweise umkehrbar und haben beliebig viele Umkehrfunktionen, von denen man nach Vereinbarung eine auswählt. Sie sind in folgender Tabelle zusammengestellt.
Funktion f | Definitions- breich f |
Umkehrfkt. ![]() |
Definitions- breich ![]() |
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||
sin | [ - ½ ![]() ![]() |
arcsin | [ - 1 | 1 ] | x ![]() |
![]() |
; | x | ![]() |
---|---|---|---|---|---|---|
cos | [ 0 | ![]() |
arccos | [ - 1 | 1 ] | x ![]() |
![]() |
; | x | ![]() |
tan | ] - ½ ![]() ![]() |
arctan | ] - ![]() ![]() |
x ![]() |
1 | |
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||||||
1 + x² | ||||||
cot | ] 0 | ![]() |
arccot | ![]() |
x ![]() |
1 | |
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||||||
1 + x² |
Beweise der Ableitungsregeln:
Also | arcsin ' y = | 1 | = | 1 | = | 1 | oder wenn die Variable x heißt: | |
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sin ' x | cos x | ![]() |
||||||
arcsin ' x = | ![]() |
; | x ![]() |
Also gilt | arccos ' y = | 1 | = - | 1 | in ] -1 | + 1 [ |
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- sin x | ![]() |
arctan ' y = | 1 | = | 1 | = cos² x = | 1 | , denn cos² x = | 1 |
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||||
tan ' x | 1 | 1 + y² | 1 + tan² | ||||
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|||||||
cos² x |
arccot ' y = - | 1 | |
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||
1 + y² |
weiter zu
13.9 Stammfunktionen der Winkelfunktionen