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Oberstufe: Differential- und Integralrechnung |
Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde |
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Für das Folgende ist es nützlich, die Winkelmessung an das metrische System anzuschließen.
Dazu erinnere man sich daran, dass
b = | ![]() |
· ![]() |
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180° |
Bogen | = | b | = | ![]() |
· ![]() |
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Radius | r | 180° |
Es ist also arc 1° = | ![]() |
· 1° rad ![]() |
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180° |
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180° | 90° | 45° | 30° | 60° | 1° | 360° | 720° |
arc ![]() |
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2 ![]() |
4 ![]() |
Die Lage eines Punktes in der Ebene wurde bisher nach Auszeichnung zweier sich schneidenden Geraden
als Koordinaten-Achsen durch ein Zahlenpaar ( x | y ) -
den kartesichen Koordinaten - beschrieben.
Man kann die Lage eines Punktes aber auch eindeutig beschreiben,
indem man einen Punkt 0 und eine von ihm ausgehende Halbgerade auszeichnet.
P ( r ; x ) ist dann der Punkt der Ebene, der von 0
den Abstand r und dessen Fahrstrahl OP mit der festen Halbgeraden
den Winkel x bildet. Das Winkelmaß x kann dabei jede reelle Zahl annehmen.
Es ist dann
P ( 4 | 32° ) = P ( 4 ; 32° ± 360° · k )
oder allgemein
P ( r ; x ) = P ( r ; x + 2 k )
k
;
x im Bogenmaß
( r ; x ) heißen Polarkoordinaten von P .
13.3 Definition der trigonometrischen Funktionen
Die kartesischen Koordinaten des Punktes ( 1 ; x ) in Polarkoordinaten
heißen
tan x = | sin x | ; x
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2 k + 1 | · ![]() |
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cos x | 2 | |||||
cot x = | cos x | ; x
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k · ![]() |
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sin x |
13.4 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
In den Aufgaben 3 bis 5 begründen Sie selbst verschiedene Beziehungen der trignometrischen Funktionen und finden ungerade/gerade Funktionen, Periodizität, Nullstellen.
13.5 Streckung von sin-Kurven in x- und y-Richtung
Anstelle die Kurven zu transformieren, kann man auch das Koordinatensystem transformieren.
Hier folgen 4 Beispiele:
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In den Aufgaben 8 und 9 beweisen Sie den Sinussatz und den Cosinussatz (Wiederholung).
Sinussatz | Im Dreieck ABC seien
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Dann gilt: |
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Cosinus- satz |
Im Dreieck ABC seien b , c und
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Dann gilt: | a² = b² + c² - 2 b c ·
cos ![]() |
In den Aufgaben 10, 11 und 12 erarbeiten Sie die Additionstheoreme.
Additions- theoreme |
sin ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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sin ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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cos ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
||
cos ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
weiter zu
13.7 Lineare Approximation der sin-Funktion