netSCHOOL Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript
 Differential- und Integralrechnung
 für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde		    zurück zum INHALT
 12. Verkettung von Funktionen - Ableitungsregeln

 

  1. Zum allgemeingültigen Beweis der Quotientenregel erinnere man sich daran, dass nach 5.4
    (Die Ableitung einiger spezieller nicht ganzrationaler Funktionen)     ( 1
    x    		 )' = - 1
    x²    		     ist.
    Es sei nun  v  eine in  I  differenzierbare Funktion und  v (x) 0  in  I . Wegen der Stetigkeit von  v  gibt es eine Konstante  c > 0 , so dass  | v (x) | c > 0  in  I  gilt. Dann erhält man die Ableitung von  1/v  aus der
    Verkettung     x     v     v (x)   x  1
    x    		         1  
    v (x)    		   mit den 
    Ableitungen v '     
          		   1  
    v (x)²    		   , also
            (   1  
    v (x)    		 )' = - v ' (x)
    v (x)²    		    
    Wendet man nun die Produktenregel auf  u · 1/v  an, erhält man die
         Quotientenregel      ( u
    v    		  ) '  =  u ' v - u  v '
          v²    		    

  2. Existenz und Ableitung der Umkehrfunktion
    f  hat bekanntlich genau dann eine Umkehrfunktion   , wenn jeder y-Wert höchstens einmal Funktionswert ist, d.h. wenn jede Parallele zur x-Achse die Kurve der Funktion höchstens einmal schneidet. Die Kurve von  f  ist zugleich die Kurve von   , nur von der y-Achse aus betrachtet.   ordnet ja y-Werten eindeutig x-Werte zu. Die Koordinatenachsen spielen umgekehrte Rollen.
    Danach ist es anschaulich plausibel, dass mit  f  auch   differenzierbar ist und man kann wegen
        x    =    1     vemuten, dass      ' (y0)  =   1     ist .
    y f ' (x0)
    Allerdings müßte dazu sichergestellt sein, dass    auch über der ganzen Umgebung um  y0  definiert ist, dass also der Wertbereich von  f  ( = Definitionsbereich von   ) keine Lücken hat. Unterstellt man einmal die Differenzierbarkeit von    , dann kann man die Kettenregel auf
               ( f (x) ) =  x     über  I  anwenden und erhält wieder
       ' ( f (x) )  ·  f ' (x) = 1     , das heißt
       ' (y)  =      1   
    f ' (x)    		    
Dies wird in einem strengen Beweis bestätigt:
        Satz   Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion
Es sei  f  L-differenzierbar in  [ a | b ]  und  f ' m > 0   ( f ' M < 0 )  .
Dann ist    L-differenzierbar in  f [ a | b ]  und es gilt
   ' (y)  =      1   
f ' (x)

Beweis:   Nach Voraussetzung ist  f  über  [ a | b ]  streng monoton steigend (fallend) und stetig und nimmt nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert aus  f [ a | b ]  (genau einmal) an. Für das Folgende beachte man die Äquivalenzen
      f (x0) = y0     (y0) = x0  ;       f (x) = y     (y) = x 
und   ( x - x0 )²   =   (  (y) -  (y0) )²     L 2    · ( y - y0 )²     (denn ist auch L-stetig)   .
Aus     f (x) = f (x0) + f ' (x0) · ( x - x0 ) + Rf (x, x0)   mit   | Rf | Kf ( x - x0 )²
folgt   y = y0 + f ' (x0) · [ (y) - (y0) ] + Rf   und weiter
        (y) = (y0)  +  1  ( y - y0 )  -  Rf   ,     wobei
f ' (x0) f ' (x0)
        | Rf  |    Kf   ( x - x0 )²     Kf   · L 2   ( y - y0 )²   ;
f ' (x0) m m
womit alles gezeigt ist - auch die obige Ableitungsregel.

Beispiele zur Ableitung der Umkehrfunktion.

  1. Es sei  f (x) = x²  über  x a > 0  .
    Die Umkehrfunktion existiert (warum?) und hat die Gleichung   (y) = .
    ' (y) = ( ) ' =   1   =   1             ( x = )
    2 x 2
    Wem es Spaß macht, kann natürlich der Gewohnheit wieder zu ihrem Recht verhelfen und schreiben
    ( ) ' =   1   ,         (  x  mit  y  vertauscht)
    2

  2. f (x) = x²  über  x a < 0  hat die Umkehrfunktion   (y) = - . Also folgt
    ' (y) = (- ) ' =   1   = -   1             ( x = - )
    2 x 2

  3. Es sei  f (x) = xn  für  x a > 0  mit der Umkehrfunktion
    (y)  =  n   mit der Ableitung:
    ' (y)  =   1   =   1   =   1  · y -1+1/n
    n · xn-1 n · nn-1 n

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