Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

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 14.1 Integralfunktion zu  x 1/x

 
14.2 Die Umkehrfunktion von  L 

Die Umkehrfunktion von  L  heiße  E  (von Exponentialfunktion). Mit  L  ist auch  E  über   streng monoton steigend, L-stetig und differenzierbar mit der Ableitung

	E ' (y) =	1     L ' (x)	=	1   1/x	=  E (y)   ,     d.h. in
( 6 )	E '   =   E

[Beachte:  L (x) = y  über ⁺  ist äquivalent  x = E (y)  in ].

E  ist also eine Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt. E  ist beliebig oft differenzierbar und kann analog wie z.B. die sin-Funktion in eine unendliche Reihe entwickelt werden.

Wegen  E (0) = 1  (denn  L (1) = 0 ) und weil  E  streng monoton steigt, folgt für positives  b  aus

1   E (x)   E (b)

durch wiederholte Anwendung des Schrankensatzes oder Integration über  [ 0 | x ]  für  x   b 

( 7 )	1 + x +	x²	+ . . . +	xn	E (x)   1 + x +	x²	+ . . . +	xn-1	+ E (b) ·	xn	,
		2 !		n !		2 !		(n - 1) !		n !

wobei der Fehler  ( E (b) -1 ) · bⁿ / n!  für beliebig große  n  beliebig klein wird, wie bei der Reihenentwicklung der sin-Funktion gezeigt. Also

	E (x)  =  1 + x +	x²	+ . . . +	xn	+ . . .
		2 !		n !

Setzt man in  ( 7 )  speziell  x = b = 1  und  n = 2 ,

erhält man
	2,5			E (1)		4
und für  n = 3
	2	2 3		E (1)		3	.         (Überprüfe dies!)

E (1)  ist die Basis von  L . Man schreibt
    E (1) = e  , und
    E (x) = e ^x = exp x  heißt Exponentialfunktion.

Man schreibt nun auch
    L (x) = ln x         ( = Logarithmus naturalis von  x )

Genaue Berechnung von  e  (Einzelheiten bitte ergänzen)

	e = 2	+ 0,5		Aufgabe: Bergründe die Rechnung und schätze den Fehler ab
		+ 0,1666666667
		+ 0,0416666667
		+ 0,0083333333
		+ 0,0013888889
		+ 0,0001984127
		+ 0,0000248016
		+ 0,0000027557
		+ 0,0000002756
		+ 0,0000000251
		+ 0,0000000021
		+ 0,0000000002
	e =	2,7182818286

Aufgaben zu 14.

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