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Oberstufe: Differential- und Integralrechnung |
Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde |
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15. Weitere Integrationsmethoden
Den Differentiationsregeln entsprechen in der Regel Integrationsregeln, die hier behandelt werden sollen.
Substitutionsregel (1. Fassung) | |||||||||
Die Funktion g sei L-differenzierbar auf [ a | b ] und
die Funktion f sei zumindest über g [ a | b ] = I L-stetig. Dann ist |
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oder in anderer Schreibweise | |||||||||
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( F ![]() ![]() ![]() |
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F ( g (b) ) - F ( g (a) ) und | |||||
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F ( g (b) ) - F ( g (a) ) . |
Beispiel:
2 | ![]() |
6 | ![]() |
2 3 |
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6 1 |
= 9,13 , | |
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1 | 1 |
Noch häufiger wird die Substitutionsregel in der umgekehrten Richtung angewandt,
wobei dann auch ihr Name plausibel wird.
Ist unter sonst gleichen Voraussetzungen wie oben die Funktion g
umkehrbar mit der Umkehrfunktion , so ist
Substitutionsregel (2. Fassung) | |||||||
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Das folgende Beispiel zeigt die Anwendung der Regel.
Bestimme | 1 | x · | ![]() |
dx . |
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||||
0 |
x = | 1 2 |
z - | 1 2 |
= g (z) , | ||||
g ' (z) = | 1 2 |
; f (g (z) ) = | 1 2 |
( z - 1 ) · | ![]() |
|||
sowie ![]() ![]() |
||||||||
Also gilt |
1 | x · | ![]() |
dx = | 3 | 1 2 |
( z - 1 ) | ![]() |
· | 1 2 |
dz | ||
![]() |
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0 | 1 |
= | 1 4 |
3 | ( z | ![]() |
- | ![]() |
) dz = | 1 4 |
· [ | 2 5 |
z 5/2 - | 2 3 |
z 3/2 ] | 3 1 |
= | 2 5 |
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- | 1 15 |
||
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15.2 Partielle Integration