Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

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 14. Exponential- und Logarithmusfunktionen

 
15. Weitere Integrationsmethoden

Den Differentiationsregeln entsprechen in der Regel Integrationsregeln, die hier behandelt werden sollen.

15.1 Die Substitutionsregel

		Substitutionsregel (1. Fassung)
		Die Funktion  g  sei L-differenzierbar auf  [ a | b ]  und die Funktion  f  sei zumindest über  g [ a | b ]  =  I    L-stetig. Dann ist
		b  f g · g '  =   g (b)  f  a g (a)
		oder in anderer Schreibweise
		b  f ( g (x) ) · g ' (x) dx =   g (b)  f (z) dz  a g (a)

Beweis:
 F  sei Stammfunktion von  f . (Warum hat  f  eine Stammfunktion?)
Dann ist  f g  Stammfunktion von  f g · g '  , denn nach der Kettenregel ist

( F g ) '  =  F ' g  ·  g '   =  f g  ·  g '   .

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung ist

	b  f g · g '  =   a	F ( g (b) ) - F ( g (a) )       und
	g (b)  f  =  g (a)	F ( g (b) ) - F ( g (a) )      .

Also stimmen die Integrale auf beiden Seiten der Gleichung überein.

Beispiel:

	2	· ( 4 x - 1 ) dx  =	6	dz  =   [	2 3	]	6 1	= 9,13    ,
	1		1

denn hier sei: f (z) =  ;   g (x) = 2 x² - x ;   g ' (x) = 4 x - 1 ;   g (1) = 1  und   g (2) = 6  .

Noch häufiger wird die Substitutionsregel in der umgekehrten Richtung angewandt, wobei dann auch ihr Name plausibel wird.
Ist unter sonst gleichen Voraussetzungen wie oben die Funktion  g  umkehrbar mit der Umkehrfunktion   , so ist

		Substitutionsregel (2. Fassung)
		b  f (x) dx  =   f ( g (z) ) · g ' (z) dz  a

Zum Beweis braucht man nur die 1. Fassung der Substitutionsregel von rechts nach links zu lesen.

Das folgende Beispiel zeigt die Anwendung der Regel.

Bestimme	1	x ·		dx        .
	0

Lösung: Substituiere    1 + 2 x = z = (x) . Dann ist

	x =	1 2	z -	1 2	= g (z)    ,
	g ' (z) =			1 2	;       f (g (z) ) =	1 2	( z - 1 ) ·
	sowie   (0) = 1   und   (1) = 3   .
	Also gilt

	1	x ·		dx  =	3		1 2	( z - 1 )		·	1 2	dz
	0				1

	=	1 4		3	( z		-		) dz  =	1 4	· [	2 5	z 5/2 -	2 3	z 3/2 ]	3 1	=	2 5		-	1 15
				1

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