AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung

Aufgaben 1 bis 15 zu
14. Exponential- und Logarithmusfunktionen

1. Skizziere die Graphen von

   a.   y = ln x		b.   y = ln (- x)		c.   y = ln | x |
   d.   y = ex		e.   y = e-x		f.   y = e-2x
   g.   y = e-x2		h.   y = e½x		i.   y = e-½x

2. Zeige:  ln (- x)  ist Stammfunktion von  x 1/x  für  x < 0  .
   

   Daraus folgt

   1 x

   dx  =  ln | x | + C

   x 0

3. Beweise
   1. y = ln x   ist überall rechstgekrümmt
   2. ln x    x - 1   über ⁺

4. Begründe den Ansatz
   ln ( 1 + h )  =  ln 1 + ln' (1) · h + R (h)   mit | R (h) | K h²   für eine positive Zahl  K  .
   

   Für  h =	1 n	erhält man
   | ln ( 1 +	1 n	) -	1 n	| K ·	1 n²	oder (warum?)
   | ln ( 1 +	1 n	)n -	1	|	K n	.       ( n )

   Bergründe hieraus
   

   ln ( 1 +

   1 n

   )n  =  1       und

   ( 1 +

   1 n

   )n  =  e   .     (vgl. auch 5.)

5. Beweise: Gilt für die Glieder einer Folge  ( a_n ) 
   

   | an - a |

   K  n

   für alle  n   und ein positives  K

   und ist  f  eine L-stetige Funktion, so gilt auch

   | f(an) - f(a) |

   K  n

   ( an, a Definitionsbereich von  f )

6. Analog zu 5. gilt
   

   | an - a |

   K · qn

   | f(an) - f(a) |

   K · qn

   Formuliere vollständig und beweise.

7. Es sind die Funktionalgleichungen der E-Funktion herzuleiten:
   E (x + u) = E (x) · E (u)         und         E (s · x) = [ E (x) ]^s     ( s )

8. Zeige

   	e -x  =  1 - x +	x2	-	x3	+	x4	- . . . + . . . =		( - 1 ) k ·	xk
   		2!		3!		4!				k!
   								n = 0

9. Berechne auf 6 Stellen genau aus der Reihenentwicklung und vergleiche mit dem Taschenrechner:
   a.   e²         b.   e³         c.   e^0,5         d.   e^-1         e.   e^-3        
   (Die Nummern d. und e. auf zwei Arten).

10. Vergleichen Sie die Graphen von
    y = e^x  ;     y = 1 + x  ;     y = 1 + x + x²/2  ;   und   y = 1 + x + x²/2 + x³/6  .

11. Weil  y = e^x  auf stetig und streng monoton steigend ist, kann für jede positive Zahl  a 

    	a = e ln a
    geschrieben werden und man definiert
    	a x = e x · ln a   .
    Bestätige die folgende Ableitungsregel und Integralformel
    	( a x ) ' = a x · ln a				a x dx =	a x	+ C
    						ln a

12. Die Umkehrfunktion zu  x a ^x   ( a > 0 )  heißt y log_a y           (Logarithmus zur Basis a ).
    

    Bestätige	( loga x ) ' =	1		.
    		x · ln a

13. Leite ab:

    a.	y = 2 · ex		b.	y =	3 · e2 x		c.	y =	e-0,5 x
    d.	y = 10 · e-x²		e.	y =	e		f.	y =	n0 ·
    g.	y = x · ex		h.	y =	1		i.	y =	1
    					ex				ex²
    k.	y = ex · cos x		l.	y =	esin x		m.	y =	( 2 x² + 3 x + 1 ) · ex

14. Leite ab:     [ lg = log₁₀ ] ; beachte Definitionsbereich!
    

    a.	y = log2 3 x		b.	y = lg x		c.	y = x ·	ln x
    d.	y = ln ( 2 + sin x )		e.	y = ln ( 3 x² )		f.	y = ln	( 3 - x )
    g.	y =		h.	y = ln		i.	y = ln

15. Leite ab über dem maximalen Definitionsbereich:
    

    a.	y = x · ln		b.	y =	ln cos² x		c.	y =	1
    									ln x
    d.	y = ln² x		e.	y =	ln x		f.	y =	x
    					x				ln² x
    g.	y = 2x		h.	y =	10x		i.	y =	1
    									41 - x
    i.	y = ( ½ ) 4x		k.	y =	2 3 - x		l.	y =	10 m x + n

Aufgaben 16 bis 21 zu    14. Exponential- und Logarithmusfunktionen  

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