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Oberstufe: Differential- und Integralrechnung |
Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde |
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In den Übungsaufgaben wird bewiesen:
Satz 4 | 3. hinreichende Bedingung für relative Extrema | |
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Wenn für eine gerade Zahl n f ' (a) = f '' (a) = f ''' (a) = . . . = f (n-1) (a) = 0 und f (n) < 0 ( bzw. f (n) > 0 ) dann ist f (a) relatives Maximum ( bzw. Minimum ). |
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Beispiel:
8. | Im Beispiel 7. x
![]() ist y ' (0) = 0 = y '' (0) = y ''' (0) und y (4) = 24 > 0 , also ist ( 0 | -16 ) nach Satz 4 Tiefpunkt. |
Die 2. Ableitung ist überhaupt bedeutsam für die gegeseitige Lage von Kurve und Tangente. Es gilt nämlich:
Satz 5 | Wenn f '' (a) > 0 ist, dann liegt in einer U (a) die Kurve der Funktion f über der Tangente durch ( a | f (a) ) .
Wenn f '' (a) < 0 ist, |
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Der Beweis folgt aus dem Schrankensatz
(Satz 5 in 7.2 Globale Monotoniesätze).
Denn ist z.B. f '' (a) > 0 ,
so steigt f ' bei a .
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Es gibt eine Umgebung um a , worüber für | |||||
x < a | ![]() |
x > a | ||||
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f ' (x) < | f ' (a) | f ' (x) > | f ' (a) | |||
f (a) - f (x) ![]() | f ' (a) ( a - x ) | f (a) - f (x) ![]() | f ' (a) ( a - x ) | |||
f (x) ![]() | f (a) + f ' (a) ( a - x ) | f (x) ![]() | f (a) + f ' (a) ( a - x ) |
Von besonderem Interesse ist der Fall, dass die Funktion f '' bei a 
einen Vorzeichenwechsel hat, z.B. von +  nach - .
Dann hat die Funktion f ' bei a  sicher ein relatives Maximum.
In einer U (a) folgt genauer für
x < a | ![]() |
x > a | ![]() |
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f '' (x) > | 0 | f '' (x) < | 0 | |||
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globaler Monotoniesatz | |||||
f ' (x) < | f ' (a) | ![]() |
f ' (x) < | f ' (a) | ||
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Schrankensatz | |||||
f (a) - f (x) ![]() |
f ' (a) ( a - x ) | ![]() |
f (x) - f (a) ![]() |
f ' (a) ( x - a ) | ||
f (x) ![]() |
f (a) + f ' (a) ( a - x ) | f (x) ![]() |
f (a) + f ' (a) ( x - a ) | |||
Also liegt die Kurve der Funktion f | ||||||
über der Tangente | ![]() |
unter der Tangente | ||||
durch ( a | f (a) ) | ||||||
Die Kurve f wendet also im Punkt ( a | f (a) )
von einer Seite der Tangente zur anderen. ( a | f (a) ) heißt Wendepunkt. |
Satz 6 | 1. hinreichende Bedingung für Wendepunkte | |
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Wenn f '' bei a das Vorzeichen wechselt,
dann ist a Wendestelle von f . [ ( a | f (a) ) Wendepunkt ] |
Weitgehend analog zur Lösung von Extremwertproblemen gelten und beweist man folgende Sätze ( vergleiche Aufgaben ):
Satz 7 | 2. hinreichende Bedingung für Wendepunkte | |
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Wenn f '' (a) = 0 und f ''' (a)
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Satz 8 | 3. hinreichende Bedingung für Wendepunkte | |
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Wenn f '' (a) = 0 = f ''' (a) = . . .
= f (n-1) (a) und f (n)
![]() ![]() dann ist a Wendestelle von f . |
Satz 9 | notwendige Bedingung für Wendepunkte | |
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Wenn a Wendestelle von f ist und f '' (a) existiert, dann ist f '' (a) = 0 . |
Beispiele:
9. | Die Funktion F : x ![]() |
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10. | Jede ganzrationale Funktion 3. Grades hat genau einen Wendepunkt. | |
Denn ist | f (x) = a x³ + b x² + c x + d , | |
so ist | f '' (x) = 6 a x + 2 b | |
mit der Nullstelle ( -b/3a ) . Da außerdem
f ''' (x) = 6 a ![]() Selbstverständlich folgt dies auch aus Satz 6 . |
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11. | Es sei | f (x) = ( x - 1 )5 ( x + 2 ) |
1 ist dreifache Nullstelle von f '' . Also wechselt f '' bei 1 das Vorzeichen und folglich hat f bei 1 einen Wendepunkt. | ||
Oder zur Kontrolle |
y ' = 3 ( x - 1 )4 ( 2 x + 3 ) y '' = 30 ( x - 1 )³ ( x + 1 ) y ''' = 60 ( x - 1 )² ( 2 x + 1 ) y '' (1) = 0 und Vorzeichenwechsel ![]() ![]() |
weiter zu
12. Beispiel einer Kurvendiskussion