Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

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 8.1 Kurvendiskussion

 
12. Beispiel einer Kurvendiskussion

Diskutiere und zeichne die Kurve der Funkion f mit

f (x) = 3 x ⁴ - 32 x³ + 72 x²

Lösung:

1. Maximaler Definitionsbereich:    (wie bei allen ganzrationalen Funktionen)

2. Symetrien: hier keine erkennbar

3. Nullstellen:
    3 x ⁴ - 32 x³ + 72 x² = 0      x² ( 3 x² - 32 x + 72 ) 
       x = 0  oder  x² - 32/3 x + 24 = 0 
       x = 0  oder  x  7,44  oder  x  3,23 

4. Ableitungen:
     f ' (x) = 12 x³ - 96 x² + 144 x 
    f '' (x) = 36 x² - 192 x + 144 
   f ''' (x) = 72 x - 192 

5. Relative Extrema:
   Notwendige Bedingung:      f ' (x) = 0
    12 x³ - 96 x² + 144 x = 0      x = 0  oder  x = 2  oder  x = 6 
   Also können bei  0 ;  2 ;  6  relative Extrema vorhanden sein.
    f ' (0) = 0  und  f '' (0) = 144  > 0     ( 0 | 0 )  ist Tiefpunkt
    f ' (2) = 0  und  f '' (2) = -96  < 0     ( 2 | 80 )  ist Hochpunkt
    f ' (6) = 0  und  f '' (6) = 288  > 0     ( 6 | -432 )  ist Tiefpunkt
   

6. Die Nullstellen von  f ''  können Wendestellen sein.
   36 x² - 192 x + 144 = 0      x² - 16/3 x + 4 = 0      x  2,67 ± 1,76 
   x 4,43  oder   x 0,90 

7. Wegen
   3 x ⁴ - 32 x³ + 72 x² =  x⁴ ( 3 - 32/x + 72/x² )
   überschreiten die Funktionswerte für  x    und für  x  -   jede positive reele Zahl.
   Also ist der Wertebereich   { x | x -432 }

8. Tabelle einiger nützlicher Funktionwerte (zusätzlich)
   

   x	-1	-2	-½	8	9	1
   y	107	592	22,19	512	2187	43

9. Darstellung der Kurve der Funktion  f 
   

Aufgaben zu 8.1

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