1. |
Zeige, dass keine der Voraussetzungen in Satz 1 überflüssig ist. |
2. |
Zeige, dass die Umkehrung von Satz 1 falsch ist. |
3. |
Beweise Teil 1 des Satzes 2 im einzelnen (mit Zeichnungen). |
4. |
Erkläre, warum Satz 2 allgemeiner ist als Satz 3.
Erläutere auch an einem Beispiel. |
5. |
Beweise Satz 4. |
6. |
Beweise Satz 5 für den Fall f '' (a) < 0 . |
7. |
Beweise a) Satz 7, b) Satz 8,
c) Satz 9, d) Satz 6 |
8. |
Wir geben zunächst eine Definition:
Definition: Die Funktion f heißt an der Stelle a linksgekrümmt,
wenn die Funktion f ' bei a steigt (Bild links).
- Definiere " f heißt bei a rechtsgekrümmt" (Bild rechts).
- Beweise:
Wenn f '' (a) > 0 , dann ist f bei a linksgekrümmt.
Wenn f '' (a) < 0 , dann ist f bei a rechtsgekrümmt.
(Anleitung: beachte den lokalen Monotoniesatz
und dass f '' die Ableitung von f ' ist.)
- Beweise: (vergleiche den Beweis zu Satz 5)
Wenn f bei a linksgekrümmt ist, dann liegt f in einer U (a)
über der Tangente durch ( a | f (a) ) . Wie lautet die Gleichung der Tangente?
- Formuliere und beweise den zu Satz Aufgabe 8c dualen Satz.
- Definiere den Begriff des Wendepunktes unter Benutzung des Krümmungsbegriffs
und zeige die Gleichwertigkeit mit der bereits bekannten Definition.
|
9. |
Zeige: f (x) = x · | x | hat bei 0 eine Wendestelle,
aber f '' (0) existiert nicht. Was bedeutet dies Beispiel für
Satz 9? |
10. |
Gib ein Beispiel dafür an, dass g '' (x) = 0 keine hinreichende Bedingung für
eine Wendestelle der Funktion g ist. |
11. |
Warum hat x 1/x² bei 0 keine Wendestelle? |
12. |
Begründe, warum nach Satz 6 und nach Satz 8
die Funktion x x9
im Ursprung einen Wendepunkt hat. Warum folgt dies nicht aus Satz 7 ? |
13. |
Was folgt aus . . . ?- f ' (3) = 4
- f ' (2) = -1
- f ' (1) = 0
- f '' (2) = 0
- f ' (4) = 0 und f '' (4) = 5
- f ' (-2) = 0 und f '' (-2) = -20
- f ' (2) = 4 und f '' (2) = 0 und
f ''' (2) = 5 und f (2) = 1
- f (-1) = 3 und f ' (-1) = -4 und
f '' (-1) = 0 und f ''' (-1) = -10
- f (-3) = 4 und f ' (-3) = 0 und
f '' (-3) = 0 und f ''' (-3) = 40
- f ' (3) > 0 und f '' (3) < 0
- f ' (3) < 0 und f '' (3) > 0
|
14. |
Wo liegen die relative Extrema der Funktion f ,
wenn die Funktion f ' gegeben ist durch: . . . ?
- f ' (x) = -2 · ( x - 4 )³ · ( x + 2 )² · ( x + 0,1)
- f ' (x) = ( x² - 1 ) · ( x² - 4 )³ · ( x² - y )²
- f ' (x) = ( x + 1 ) · g (x) mit g (-1)
0 ; g ganzrationale Funktion
- f ' (x) = ( x + 1 )² · g (x) mit g (-1)
0 ; g ganzrationale Funktion
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15. |
Wo liegen die Wendepunkte der Funktion f , wenn die Funktion f '' gegeben ist durch
- f '' = ( x + 3 ) · ( x - 2 )² · ( x + 1 )5
- f '' = x² + 2 x - 3
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16. |
Diskutiere wie Beispiel 12
- y = x³ - 12 x
- y = x³ - 2 x²
- y = 2 x4 - ½ x2
- y = 2 x5 - 3 x2
- y = 1/5 x5 - 2 x3 + 5 x
- y = 2 x³ - 15 x² + 36 x + 24
- y = x³ + 2 x² - x - 2
- y = x³ - 2 x² - 2 x + 1
- y = 2 x4 - 4 x3 + 4 x - 2
- y = x³ - 9 x - 8
- y = x³ - 6 x² + 12 x - 8
- y = x³ + 3 x² - 9 x - 3
- y = 9 x - x²
- y = x³ - 5 x² + 3 x
- y = 4 x3 - x4
- y = ( x - 1 ) · ( x + 1 )²
- y = 2 x³ - 9 x² + 12
- y = x² - 1/6 x³
- y = x4 - 2 x2
- y = x4 - 6 x2 + 5
- y = 1/18 x4 - x2 + 11/2
- y = 20 x3 - 3 x5
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