netSCHOOL AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung
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Aufgaben zu
8. Anwendungen II
 
8.2 Bestimmung von Funktionsgleichungen aus gegebenen Eigenschaften

  1. Welche Funktion geht durch  ( 2 | 4 )  und hat die Ableitung   f ' (x) = 4 x³ - 2 x² + x - 1  ?
  2. Wie lautet die Gleichung der Funktion  f  mit folgenden Eigenschaften:
    f '' (x) = 3 x² + 2 x - 4    und    f ' (1) = -2    und    f (1) = 3  .
  3. Für welche Werte von  a  hat die Kurve mit der Gleichnung   y = x5 + a x3 + x
    1. mehr als eine Nullstelle,
    2. vier Extrema,
    3. nur einen Wendepunkt?
  4. Zeige: Bei den Funktionen  y = x³ - a x   ( a > 0 ) liegt ein relatives Extremum nie in der Mitte zwischen zwei Nullstellen.
  5. Es sei  y = x4 -a x2 + 1  . Auf welcher Kurve liegen
    1. die Extrema,
    2. die Wendepunkte?
  6. Welche Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung und hat im Punkt  ( -2 | 8 )  die Steigung  ( -9 ) ?
  7. Welche Parabel 3. Ordnung hat im Punkt  ( 2 | 6 )  eine horizontale Tangente und im Punkt  ( 1 | 3 )  ihren Wendepunkt?
  8. Zeige: Jede Parabel 3. Ordnung ist punktsymetrisch bezüglich ihres Wendepunktes.
  9. Welche Parabel 3. Ordnung ist symetrisch zum Ursprung und hat im Punkt  ( 1 | 2 )  die Steigung ½ ?
  10. Welche Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat in  ( 2 | -3 )  ihren Wendepunkt, während die Wendetangente die x-Achse in  ( 3 | 0 )  schneidet?
  11. Welche Parabel 3. Ordnung hat ein Maximum in  ( -1 | 16 )  und eine Wendepunkt in  ( 2 | -6 ) ?
  12. Welche ganzrationale Funktionen 4. Grades haben relative Extrema bei  ( -2 ) , 1 und 5 ?
  13. Welche ganzrationale Funktionen 5. Grades haben Wendepunkte bei  ( -3 ) , 0 und 6 ?
  14. Eine Parabel 4. Grades ist symetrisch zur y-Achse, hat in  ( 2 | 0 )  eine Wendetangente mit der Steigung  ( -2 ) .
  15. Welche zur y-Achse symetrische Parabel 4. Grades geht durch  ( 0 | 6 )  und hat in  ( 3 | 0 )  einen Tiefpunkt?
  16. Welche Parabel 4. Ordnung hat in  ( 0 | -3 )  einen Sattelpunkt und berührt die x-Achse an der Stelle  3 ?
  17. Welche Parabel 4. Ordnung hat im Ursprung einen Sattelpunkt und in  ( 2 | -2 )  einen Wendepunkt?
  18. Für welches  a  hat die Kurve  y = x4 - a x2  bei  1  einen Wendepunkt?
  19. Welche Parabel 3. Grades hat dieselben Nullstellen wie die Kurve zu  y = ½ x³ - 2 x  und steht auf dieser im Ursprung senkrecht?
  20. Welche Parabel 4. Ordnung hat im Ursprung einen Sattelpunkt, an der Stelle  6  eine horizontale Tangente und schneidet die x-Achse ein zweites Mal mit der Steigung  ( -8 ) ?
  21. Welche zu Ursprung symetrische Parabel 5. Grades hat im Ursprung die Tangente  y = 9 x  und in  ( 1 | -1 )  einen Wendepunkt?
  22. Welche zu Ursprung symetrische Parabel 5. Grades hat in  ( -1 | 2 )  einen Wendepunkt mit der Steigung  3 ?
  23. Gegeben sei die Parabel  y = 3 x² - 4 x + 1  . Wo liegen die Mittelpunkte aller Sehnen mit der Steigung  ( -1 ) ? (Sehne  =  Strecke zwischen zwei Parabelpunkten.)
  24. Bestimme nach verschiedenen Methoden, u.a. auch mit Hilfe der Differentialrechnung, den Scheitelpunkt der Parabel  y = a x² + b x + c    ( a  0 ) .
  25. Wie viele relative Extrema und Wendepunkte kann eine ganzrationale Funktion n-ten Grades höchstens haben?
  26. Es sei  y = a x³ + b x² + c x + d . Welche Gleichnung hat die an der y-Achse, an der x-Achse und die am Ursprung gespiegelte Kurve?
 

weitere Aufgaben zu    8.3 Extremwertaufgaben  

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