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Oberstufe: Differential- und Integralrechnung |
Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde |
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2.1 Wiederholung des Steigungsbegriffs
Die Funktionen x
mx + b ( x
;
m, b
) heißen lineare Funktionen.
Ihr Bild in einem kartesischen Koordinatensystem ist bekanntlich eine Gerade mit der Steigung m
und dem y-Abschnitt b ( Bild 1 ). Die Funktion x
mx + b kann auch durch die (lineare) Funktionsgleichung
y = mx + b beschrieben werden.
Die Bedeutung vom m wird so klar: Wählt man
zwei beliebige Punkte P1 ( x1 | y1 ) und P2
( x2 | y2 ) auf der Geraden y = mx + b so gilt
y1 =
m · x1 + b und y2 = m · x2 + b .
Für die Koordinatendifferenzenx = x2 - x1
und
y = y2 - y1 folgt
y = y2 - y1 = mx2 + b - ( mx1 + b )
= mx2 - mx1
= m ( x2 - x1 ) =
m ·x
Also ist m = konstant,
d.h. unabhängig von der Wahl der Punkte P1 und P2 .
Zur Wiederholung:
Steigung der Geraden = m = | ![]() |
Für alle Geraden gilt also:
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Beispiel: Welche Steigung hat die Gerade durch
a. P1( 3 | 2 ) und P2( -2 | -4 ) ? | ![]() |
b. durch den Ursprung ( 0 | 0 ) und den Punkt ( 3 | -4 ) ? |
a) b = 0
y = mx sind Ursprungsgeraden.
Hier ist (sogar) y proportional zu x .
b) m = 0 y = b
Die Abbildung x b (
) heißt konstante Funktion.
Ihr Bild ist eine Parallele zur x-Achse.
c) m = 0 und b = 0 y = 0 heißt Nullfunktion.
Ihr Bild ist die x-Achse. Sie hat überall den Wert 0 .
d) Die Funktion x x (
) ( y = x ) heißt identische Funktion id .
e) Parallele Geraden haben die gleiche Steigung.
f) Bestätige am Bild:
Zwei Geraden y = m1x + b1 und y = m2x + b2 schneiden sich genau dann rechtwinklig, wenn m2 = - 1/m1 ist.
2.3 Die Gleichung ax + by + c = 0
a) |
b ![]() ![]() |
Bild der Lösungsmenge ist die Gerade mit der Steigung - a/b und dem y-Abschnitt - c/b . | |
b) |
b = 0 und a ![]() ![]() |
Bild der Lösungsmenge ist eine Parallele zur y-Achse. Solche Geraden haben keine Steigung. Die Stufenbreite ![]() ![]() ![]() | |
c) |
a = 0 und b = 0 und c ![]() ![]() ![]() |
d) |
a = 0 und b = 0 und c = 0 ![]() ![]() |
2.4 Punkt-Steigungsform, Zwei-Punkteform der Geradengleichungen
Beispiel:
Wie lautet die Gleichung der Geraden durch den Punkt P ( 3 | 2 ) mit der Steigung 1/2 ?
( x | y ) sei ein beliebiger (zweiter) Punkt der Gerade. Aus dem Bild entnimmt man y = 2 + 1/2 (x - 3) = 1/2 x + 1/2 .
Wie lautet allgemein die Gleichung der Geraden durch den Punkt ( x1 | y1 ) mit der Steigung m ?
Zur Lösung sei ( x | y ) wieder ein beliebiger (zweiter Punkt) Punkt der Geraden. Dann ist
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y = y1 + m ( x - x1) |
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Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung | |
Wie lautet die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte ( x1 | y1 ) und ( x2 | y2 ) ?
Die Gerade hat die Steigung m = | ![]() |
. Also lautet die Gleichung der Geraden |
y = y1 + | ![]() |
( x - x1 ) | |
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Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung |
Beispiele: | |||
1. | Die Gerade 2 x + 3 y - 6 = 0 hat wegen y = -2/3 x + 2 die Steigung (-2/3) und den y-Abschnitt 2 . | ||
2. | Wie lautet die Gleichung der Geraden durch ( 6 | -2 ) und ( -4 | -8 ) ? | ||
Lösung: y = -2 + | -8 - ( -2 ) | ( x - 6 ) = -2 + 3/5 ( x - 6 ) = 3/5 x - 28/5 | |
-4 - 6 | |||
3. | Wie lautet die Gleichung der Geraden. die durch ( 2 | 3 ) geht und auf der Geraden y = 2/3 x - 2 senkrecht steht? | ||
Lösung: Die Steigung der gesuchten Geraden ist der Kehrwert der negativen Steigung 2/3; also m = -3/2. Daher ist y = 3 - 3/2 ( x - 2 ) = - 3/2 x + 6 ihre Gleichung. |
weiter zu
3. Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion