MATHEMATIK Schulwissen Oberstufe Differential-/Integralrechnung (3)

Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript
Differential- und Integralrechnung
für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

Die folgende grundlegende Aussage über reelle Zahlen wird Archimedes zugeschrieben und im folgenden als Axiom benutzt.

Archimedisches Axiom
Arch Zu jeder positiven Zahl a gibt es eine natürliche Zahl n mit

1
n < a .

Wir brauchen später die folgende Folgerung aus dem Archimedischen Axiom:

Satz 12 Wenn a b + ¹/n für alle natürlichen Zahlen ist,
dann ist a b ( a, b, ).
Beweis:
Wäre a > b , dann wäre 0 < a - b , d.h. a - b eine positive Zahl.
Nach Vorraussetzung ist a - b ¹/n für alle n .
Nach Archimedes gibt es eine natürliche Zahl n mit ¹/n < a - b .
Das ist ein Widerspruch. Also a b .

Das Archimedische Axiom entstammt ursprünglich geometrischen Problemen, nämlich der Theorie des Messens. Eine Strecke b ausmessen heißt feststellen, wie oft eine als Einheit gewählte Strecke a sich auf b abtragen lässt. Das Abtragen wird in der Regel nicht aufgehen. Voraussetzung für das Gelingen ist aber, dass ein Vielfaches von a b übertrifft. Dies wird durch Arch gewährleistet, wie der folgende Satz zeigt:

Satz 13 Wenn 0 < a < b in ,
dann gibt es eine natürliche Zahl n , so dass a · n > b ist .
Beweis: Nach Voraussetzung ist a/b eine positive Zahl.
Zu ihr gibt es nach Arch eine natürliche Zahl n mit ¹/n < a/b .
Dies ist äquivalent zu n · a < b .

Satz 13 ist äquivalent zum Archimedischen Axiom. Es heißt daher auch Axiom des Messens.

Äquivalent zu Arch sind auch die Sätze 14 und 15 .

Satz 14 Zu jeder reellen Zahl r gibt es eine natürliche Zahl n mit n > r .

Satz 15 Falls für ein a | a | ¹/n für alle n ist,
so ist a = 0 .
Beweise: siehe Aufgabe 10 und 11

Satz 14 besagt, dass keine reelle Zahl obere Schranke von ist.
Wegen Arch heiß die Folge 1; ¹/2; ¹/3; ¹/4; ...; ¹/n, ... Nullfolge, denn jede positive Zahl wird schließlich von fast allen (d.h. mit Ausnahme von endlich vielen) Folgegliedern unterboten.

Aufgaben zu 1.3

Eine Verallgemeinerung von Satz 15 ist

Satz 16 Wenn für ein a ; k ⁺ und c
| a | k · | h | für alle h mit 0 < | h | < c ist, so ist a = 0 .
Denn es gibt eine natürliche Zahl n mit ¹/n < c
und für alle Nachfolger von n gilt die Ungleichung erst recht.
Vgl. Aufgabe 12.

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Satz 12	Wenn a b + ¹/n für alle natürlichen Zahlen ist, dann ist a b ( a, b, ).
	Beweis: Wäre a > b , dann wäre 0 < a - b , d.h. a - b eine positive Zahl. Nach Vorraussetzung ist a - b ¹/n für alle n . Nach Archimedes gibt es eine natürliche Zahl n mit ¹/n < a - b . Das ist ein Widerspruch. Also a b .

Satz 13	Wenn 0 < a < b in , dann gibt es eine natürliche Zahl n , so dass a · n > b ist .
	Beweis: Nach Voraussetzung ist a/b eine positive Zahl. Zu ihr gibt es nach Arch eine natürliche Zahl n mit ¹/n < a/b . Dies ist äquivalent zu n · a < b .

Satz 14	Zu jeder reellen Zahl r gibt es eine natürliche Zahl n mit n > r .

Satz 15	Falls für ein a \| a \| ¹/n für alle n ist, so ist a = 0 .
	Beweise: siehe Aufgabe 10 und 11

Satz 16	Wenn für ein a ; k ⁺ und c \| a \| k · \| h \| für alle h mit 0 < \| h \| < c ist, so ist a = 0 .
	Denn es gibt eine natürliche Zahl n mit ¹/n < c und für alle Nachfolger von n gilt die Ungleichung erst recht. Vgl. Aufgabe 12.