AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung

Aufgaben zu
2. Lineare Funktionen

2.1 Wiederholung des Steigungsbegriffs
2.2 Sonderfälle
2.3 Die Gleichung ax + by + c = 0
2.4 Punkt-Steigungsform, Zwei-Punkteform der Geradengleichungen

1.	Bestimme die Steigung und den y-Abschnitt der Geraden
	a) 6x + 3y - 1/2 = 0	b) 0,1x + 2y + 4 = 0
	c) 5x - 2/3 y + 6/5 = 0	d) 4/5 x + 1/3 y - 3/2 = 0
	e) 0,24x - 0,42y - 0,36 = 0	f) 1,2x + 2,4y + 0,5 = 0
2.	Zeichne die Gerade mit den Gleichungen
	a) y = -2x + 3	b) y = 1/2x + 3
	c) y = -3	d) id
	e) y = 0,2x - 1,2	f) y = 5/2 x - 3
	g) y = -2 + 3 ( x - 4 )	h) y = 4 - 1/2 ( x + 1 )
	i) x = -1,5	k) x = 0

i	1	2	3	4	5	6
mi	-3	5	0	-2/5	3/2	1,8
k	1	2	3	4	5	6
Pk	( 0 | 0 )	( -2 | 3 )	( -3 | -6 )	( 4 | -1 )	( 2,4 | 1,2 )	( 4/5 | -2/3 )

3. Welche Gleichung hat die Gerade mit der Steigung m_i durch den Punkt P_k ?

4. Bestimme die Gleichung der Geraden durch je zwei verschiedene Punkte P_k .

5. Bestimme die Seiten, die Höhen und den Schnittpunkt der Höhen im Dreieck mit den Eckpunkten

a)	A ( -1 | -1 );	B ( 3 | 2 );	C ( 4 | 6 ),
b)	A ( -3 | -2 );	B ( -3 | 6 );	C ( 5 | -2 ),
c)	A ( 1 | 4 );	B ( 5 | -4 );	C ( 2 | 1 ).

6. Liegt der Punkt ( 2 | -3 ) auf der Geraden 0,35x - 7y - 21,6 = 0 ?
7. Liegt der Punkt ( 0,3 | 1,4 ) auf der Geraden 9,8x - 11y - 14 = 0 ?
8. Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch ( 2 | 1 ) geht und parallel zur Geraden 2x - 3y - 4 = 0 läuft ?
9. Ergänze die Dreiecke der Aufgabe 5. durch Berechnung eines 4. Punktes zu einem Parallelogramm. Auf wieviel Arten ist dies jeweils möglich ?
10. Zeichne die Menge aller Punkte, für die gilt:

a)	-1/2 x - 2 y -1/2 x + 3
b)	x 0 und y 0 und y 8 - 1/2 x und y 10 - x
c)	y = | x | + | x + 2 |
d)	y = ||| x | - 1 | - 1 |
e)	| x - 3 | < 4 und | y - 1 | <2
f)	| x + 2y - 2 | < 5

 
Aufgaben zu
3. Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion

Beweise für alle natürlichen Zahlen n, falls nicht anderes ausdrücklich gesagt ist.

1.	1 + 32 + . . . + (2n - 1)2	=	1 3	n (2n - 1)(2n + 1)
2.	1 + 3 + . . . + (2n - 1)	=	n2
3.	12 + 22 + . . . + n2	=	1 6	n (n + 1)(2n + 1)
4.	13 + 23 + . . . + n3	=	1 4	n2 (n + 1)2
5.	1 + x + x2 + . . . + xn-1	=
6.	1·2 + 2·3 + . . . + n·(n + 1)	=	1 3	n (n + 1)(n + 2)

7.

1  1·3

+

1  3·5

+ . . . +

1         (2n-1)(2n+1)

=

n    2n+1

8.

1  1·5

+

1  5·9

+ . . . +

1         (4n-3)(4n+1)

=

n    4n+1

 9.  1·1! + 2·2! + . . . + n·n! = (n + 1)! - 1      [ n! = 1·2·3· · ·n ]
10.  Man zeige, dass man jeden ganzzahligen Betrag 8 Rubel allein mit 3- und 5-Rubelscheinen auszahlen kann.
11.  Die Summe der Kuben dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist durch 9 teilbar.
12.  11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ ist durch 133 teilbar.
13.  n (n² - 1) ist durch 6 teilbar.
14.  Eine ebene Landkarte, in der n Geraden liegen, kann mit den Farben schwarz und weiß so eingefärbt werden,
       dass benachbarte Gebiete verschieden eingefärbt sind.
15.  6 ist ein Teiler von 7ⁿ - 1
16.  a - 1 ist Teiler von aⁿ - 1
17.  a - b ist Teiler von aⁿ - bⁿ
18.  2ⁿ > 2n + 1   für alle n ?
19.  Für welche  n  ist 2ⁿ > n³ ?

20.

für n > 1

21.  2^n-1 (aⁿ + bⁿ) > (a + b)ⁿ   für n > 1; a b; a + b > 0

22.

<

(2n)! (n!)²

für n > 1

23.

1    n + 1

+

1    n + 2

+ · · · +

1  2n

>

13 24

24.  Eine Menge von n Elementen hat 2ⁿ Teilmengen.
25.  Eine Menge von n Elementen läßt sich auf   n!   ( = 1 · 2 · 3 · · · n ) verschiedene Weisen umkehrbar eindeutig (bijektiv) aufeinander abbilden.

26.

Eine Menge aus n Elementen hat

n!      2! (n - 2)!

=

n (n - 1)   1 · 2

2-elementige Teilmengen ( n 2 ) .

27.

Eine Menge aus n Elementen hat

n!      k! (n - k)!

= (

n k

)

k-elementige Teilmengen. ( 1 k n )

28.	(a + b)n = (	n 0	) an b0 + (	n 1	) an-1 b1 + (	n 2	) an-2 b2 + · · · + (	n n-1	) a1 bn-1 + (	n n	) a0 bn
	(	n 0	) = 1	Dies ist der sog. binomische Lehrsatz

29.  Gegeben ist ein Brett mit drei Stiften. Auf einem Stift liegen   n   Scheiben der Größe nach geordnet. Sie sind unter Benutzung eines Ausweichstiftes umzulegen, wobei niemals eine kleinere Scheibe unter einer größen liegen soll. Wieviel Umlegungen sind notwendig?

weitere Aufgaben zu    4. Ganzrationale Funktionen  

 zurück zu MATHEMATIK Übersicht