Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

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 5.3 Die Ableitung der ganzrationalen Funktionen

5.4 Die Ableitung einiger spezieller nicht ganzrationaler Funktionen

Es wird gezeigt, dass die Ableitungsstrategie auch bei nicht ganzrationalen Funktionen erfolgreich sein kann.

1.

Es wird die Funktion betrachtet

x

1 x

für   x a > 0 .

	Da
	(1)	1 x	-	1 x0	= ( x - x0 ) · ( -	1   x · x0	)		[ g (x) = -	1   x0 x	]

	ist, liefert die Ableitungsstrategie ( vergleiche 5.3 )
	(2)	(	1 x	) ' (x0) = -	1 x0²	.	( = g (x0) )

Wegen   g (x) - g (x0) = -

1   x · x0

- ( -

1 x0²

) = ( x - x0 ) ·

1   x · x0²

und

1   x · x0³

<

1  a³

(x, x0 a > 0 )    ist (2) bestätigt.

Also

(

1 x

)' = -

1 x²

;

x 0

2.	Analog, aber mit ein wenig mehr Aufwand, zeigt man
		(	1 xn	) ' = -	n   xn+1

3.

Es sei

x

;

( x a > 0 )

	Wegen	- =	( - ) ( + )	= ( x - x0 ) (	1       +	)
			+

vermutet man für den Ableitungsterm

1    2

.

	Überprüfe
	- -	1    2	( x - x0 ) = ( x - x0 ) [	1       +	-	1    2	] = ( x - x0 )² ·	1             2 ( + )²

und

1             2 ( + )²

1      8 ( )³

.

4.	Wegen
	sin x - sin x0 = 2 · cos	x + x0 2	· sin	x - x0 2	cos	x + x0 2	· ( x - x0 )
	für kleine | x - x0 | vermutet man richtig   sin ' x0 = cos x0 . Die Bestätigung folgt später.

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