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Oberstufe: Differential- und Integralrechnung |
Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde |
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Zur Berechnung von Abständen definieren wir die folgende Funktion über
:
| a | = | { | a , wenn a ![]() -a , wenn a < 0 |
Lies: "Betrag von a" oder "a absolut" |
Geometrisch und einprägsamer:
| a | ist gleich dem Abstand der Zahl a von 0 .
Folgende Eigenschaften der Betragsfunktion beweist man leicht durch Fallunterscheidungen und Beachtung der Definition:
Satz 9 | 1. | a | ![]() ![]() |
2. - | a | ![]() ![]() ![]() | |
3. | a | = | -a | | |
4. | a - b | = | b - a | für alle a, b ![]() | |
5. | a · b | = | a | · | b | und | a : b | = | a | : | b | für alle a, b ![]() | |
6. | x | = a ![]() ![]() | |
7. | x | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
8. | x | < a ![]() ![]() ![]() | |
9. | x | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Veranschaulichung der Lösungsmengen |
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Nun
soll die bei Abschätzungen sehr häufig verwendbare Dreiecksungleichung bewiesen werden.
Satz 10 | | a + b | ![]() ![]() | D.U. |
Beweis von D.U.:
1. Fall: | Es sei | a + b ![]() |
Dann ist | ||
(1) | | a + b | = a + b | (vgl. Def. des Betrages) | |||
Weiter folgt | a ![]() ![]() |
||||
durch Addition | a + b ![]() |
||||
was zusammen mit (1) nach dem transitiven Gesetz | |||||
| a + b | ![]() |
ergibt. | ||||
2. Fall: | Es sei | a + b < 0 . | Dann ist | ||
(2) | | a + b | = -(a + b) = ( -a ) + ( -b ) | (vgl. Def. des Betrages) | |||
Aus | ( -a ) ![]() ![]() |
||||
folgt durch Addition der Ungleichungen | |||||
( -a ) + ( -b ) ![]() |
was wegen (2) | ||||
| a + b | ![]() |
besagt. | ||||
Aus der Dreiecksungleichung läßt sich z.B. eine Aussage über | a - b | herleiten: |
|||||
Aus | a = ( a - b ) + b | ||||
folgt nach der Betragsbildung aus der Dreiecksungleichung | |||||
| a | = |( a - b ) + b | ![]() |
|||||
also (3) | | a | - | b | ![]() |
||||
und nach Vertauschung von a und b | |||||
| b | - | a | ![]() |
oder | ||||
(4) | -( | a | - | b | ) ![]() |
Satz 11 | | | a | - | b | | ![]() ![]() |
Merke: | | a - b | = | b - a | ist der Abstand der Zahlen a und b . |
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1.3 Das Archimedische Axiom