Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

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 9.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

 
Der Hauptsatz stellt die logische Verbindung her zwischen zwei Problemen, die zunächst nichts miteinander zu tun zu haben scheinen: dem Tangentenproblem und dem Flächenproblem. Für L-stetige Funktionen gilt zumindest: Das Flächenproblem ist im Wesentlichen gelöst, wenn das Umkehrproblem zur Differentiation gelöst ist. Diese Überlegungen motivieren folgenden Definition:

	Definiton der Stammfunktion
	F  über  D  heißt Stammfunktion von  f , wenn  F ' = f  in  D  .

Z.B. sind alle Funktionen  F (x) = ½ x² + C   ( C aus beliebig) Stammfunktionen von  f (x) = x . Weitere Stammfunktionen zu  f  gibt es auch nicht, wie der folgenden Satz zeigt:

	Satz 4	Satz über Stammfunktionen
		Zwei Stammfunktionen  F  und  G  der Funktion  f  unterscheiden sich nur um eine Konstante.

Zum Beweis beachte man, dass  G ' = F ' = f  ist (Definition der Stammfunktion!). Daher ist ( G - F ) ' = G ' - F ' = f - f = 0 , also  G - F  eine Funktion, welche im Definitonsbereich die Ableitung Null hat. Deswegen ist  G - F  nach Satz 4, 7.2 Globale Monotoniesätze, eine konstante Funktion.

Beispiele für Stammfunktionen

1. Es sei  f (x) = 2 x ; dann sind  F (x) =

   2 x dx = x² + C   alle Stammfunktionen zu  f .

   Künftig wird die Integralschreibweise häufig benutzt werden. Man spricht in diesem Zusammenhang vom unbestimmten Integral.
2. Wenn die Funktion  f  eine Stammfunktion hat, dann auch die Funktion  a · f  für  a  , und es gilt:
   

   a · f = a

   f   .

   (vergleiche Aufgabe 13)

3. Wenn  f  und  g  eine Stammfunktion haben, so auch  f + g , und es gilt
   

   f  +

   g =

   ( f + g )

   (vergleiche Aufgabe 13)

4. xn dx =

   1   n + 1

   · xn+1  + C

Für L-stetige Funktionen bzw. für alle Funktionen, zu denen es eine Stammfunktion gibt, lassen sich die Werte der Inhaltsfunktion leicht berechnen. Dazu zunächst ein Beispiel.

In der nebenstehenden Abbildung ist  y = x²  dargestellt. Welche Maßzahl hat die blau getönte Fläche? Nach Beispiel 4 (9.1 Inhaltsfunktionen) ist
I (x) = 1/3 x³    Inhaltsfunktion zu  f  über  [ 0 | b ] . Also ist
A = 1/3 5³ - 1/3 2³ = 117/3 = 39 .  

Werte von Inhaltsfunktionen heißen bestimmte Integrale.

 
Allgemein gilt

	Satz 5	Hauptsatz der Integralrechnung
		Die Funktion  f  sei L-stetig in  [ a | b ] .  F  sei irgendeine Stammfunktion von  f  in  [ a | b ] .
		Dann ist f = f (x) dx = F (b) - F (a)  .

Beweis:

Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist

eine Stammfunktion von  f .

Nach dem Satz über Stammfunktionen gibt es eine Konstante  C , so dass

(1)

= F (x) + C    für alle  x  [ a | b ]   .

Für  x = a  folgt	a	f = 0 = F (a) + C ,   also  C = -F (a)
	a
Für  x = b  folgt	b	f = F (b) + C  = F (b) - F (a)   .
	a
Zur Vereinfachung wird folgender Term eingeführt:
F (b) - F (a) =def [ F (x) ]	b
	a

Zum Schluss wird der Intergrationsbegriff noch etwas verallgemeinert. Bisher war die untere Integrationsgrenze kleiner als die obere. Diese Voraussetzung soll aufgegeben werden. Zunächst sei  a c b ,  f  L-stetig in  [ a | b ]  und  F  Stammfunktion von  f . Dann ist (plausibel!)

	c	f  +	b	f = F (c) - F (a) + F (b) - F (c) = F (b) - F (a) =	b	f
	a		c		a

und

	b	f  = F (b) - F (a) = - ( F (a) - F (b) ) = -	a	f  .
	a		b

Da von der gegenseitigen Lage von  a, b und c  kein Gebrauch gemacht wurde, gilt generell

	Satz 6	f  sei L-stetig im Intervall  I ,  F  Stammfunktion von  f  und  a, b, c  drei beliebige Zahlen aus  I . Dann ist
		b  f  =  -  a  f     und     b  f  +   c  f  =   c  f   . a b a b a

Aufgaben zu 9.2

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