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Oberstufe: Differential- und Integralrechnung |
Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde |
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9.3 Anwendungen der Integralrechnung
Es wurde zugelassen, dass Inhalte negativ sein können.
Häufig interessiert man sich nur für den Betrag des Inhalts.
Darauf sei sich nun hier beschränkt und verwende für (positive) Flächenmaße
vornehmlich den Buchstaben A , genauer
bedeutet | A | b a |
das Flächenmaß über dem Intevall [ a | b ]. |
Beispiele
A | 1 -2 |
= | | 0 | ( x³ + x² - 2 x ) dx | + | | 1 | ( x³ + x² - 2 x ) dx | |
---|---|---|---|---|---|---|
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|||||
-2 | 0 |
= | [ | 1 4 |
x4 + | 1 3 |
x3 - x2 ] | 0 -2 |
| + | [ | 1 4 |
x4 + | 1 3 |
x3 - x2 ] | 1 0 |
| | |
= | | - 4 | + | 3 8 |
+ 4 | | + | | 1 4 |
+ | 1 3 |
- 1 | | | |||
= | 3 8 |
+ | 5 12 |
= 3 | 1 12 |
Dagegen ist | 1 | ( x³ + x² - 2 x ) dx = 2 | 1 4 |
. |
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-2 | ||||
Beachte, dass | 1 | ( x³ + x² - 2 x ) dx | negativ ist.. | |
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0 |
A = A | 1 -1 |
(g) - A | 1 -1 |
(f) . |
A = | 1 | ( -2 x4 + 3 ) dx - | 1 | ( x2 ) dx = [ - | 2 5 |
x5 + 3 x - | 1 3 |
x3 ] | 1 -1 |
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-1 | -1 |
A = - | 2 5 |
+ 3 - | 1 3 |
- ( + | 2 5 |
- 3 + | 1 3 |
) = 6 - | 4 5 |
- | 2 3 |
= 4 | 8 15 |
1 | A = | b | [ f (x) - g (x) ] dx , | |
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a |
Warum spielt es keine Rolle, in welcher Höhe im Koordinaten-System die Fläche liegt ?
Falls sich die Kurven über dem Intervall [ a | b ] schneiden,
wechseln die Kurven in den Schnittstellen die Seiten,
d.h. f (x) - g (x) das Vorzeichen.
In nebenstehender Abbildung ist also
2 | A = | | r | [f (x) - g (x)] dx | + | | s | [f (x) - g (x)] dx | + | | b | [f (x) - g (x)] dx | | |
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a | r | s |
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Die Kurve der Funktion f verlaufe zunächst oberhalb der x-Achse. Das Flächenstück zwischen der Kurve von f und der x-Achse rotiere um die x-Achse. Daraus entsteht ein rotationssymetrischer Körper. Welchen Inhalt hat er?
V sei die Funktion, welche jedem x aus [ a | b ] die Maßzahl des Inhalts des Rotationskörpers zuordnet, der durch Drehung der Fläche zwischen der Kurve von f und der x-Achse über dem Intervall [ a | b ] um die x-Achse entsteht. Der Existenzbeweis folgt im Abschnitt 9.4 .
Es wrd nun gezeight, dass die Funktion V L-diffenrenzierbar ist, wenn die Randfunktion L-stetig ist. (vergleiche Fig. 2, oben rechts)
Es ist | |||||
V (x0 + h) = V (x0) + | ![]() |
+ | R (h) | , | |
Inhalt einer zylindr. Scheibe der Dicke h |
Restvolumen |
wobei | | R (h) | ![]() |
( f (x0) + L · h )² · ![]() ![]() |
= 4 ![]() |
gilt. | |
Inhalt eines zylindrischen Ringes |
1 | V | b a |
= ![]() |
b | f (x)² dx | |
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||||||
a |
weiter zu
9.4 Die Existenz von Inhaltsfunktionen