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Oberstufe: Differential- und Integralrechnung |
| Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde |
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8.1 Kurvendiskussion
8.2 Bestimmung von Funktionsgleichungen aus gegebenen Eigenschaften
Während bei der Kurvendiskussion von der bekannten Funktionsgleichung auf Eigenschaften der Funktion geschlossen wird, wird in diesem Abschnitt umgekehrt vorgegangen. Es wird an einem Beispiel erläutert:
Beispiel
Lösung:
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat eine Gleichung von der Form
(1) f (x): y = a x³ + b x² + c x + d und die Ableitungen
(2) y ' = 3 a x² + 2 b x + c ,
(3) y '' = 6 a x + 2 b ,
wobei a, b, c, d zu bestimmende reele Zahlen sind. Die gegebenen Eigenschaften werden nun in die Sprache der Algebra übersetzt, d.h. es wird versucht, sie in Gleichungen auszudrücken. Weil ( -1 | 10 ) ein Kurvenpunkt ist, erfüllen seine Koordinaten die Gleichung (1). Also gilt
(4) 10 = - a + b - c + d .
Weil ( -1 | 10 ) Hochpunkt ist, ist f ' (-1) = 0, also nach Gleichung (2)
(5) 0 = 3 a - 2 b + c .
Auch ( 1 | -6 ) liegt auf der Kurve, also nach Gleichung (1)
(6) -6 = a + b + c + d .
Weil ( 1 | -6 ) Wendepunkt ist, ist y '' = 0 , d.h. nach Gleichung (3)
(7) 0 = 6 a + 2 b .
Das Gleichungsssystem (4) bis (7) hat die Lösung a = 1 ; b = -3 ; c = -9 ; und d = 5 (überprüfe!). Also lautet die gesuchte Gleichung (Probe!)
y = x³ - 3 x² - 9 x + 5 .
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8.3 Extremwertaufgaben
