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AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung |
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7.1 Lokale Monotoniesätze
7.2 Globale Monotoniesätze
1. | Zeige, dass die Umkehrung von Satz 2 falsch ist. |
2. | Beweise: Wenn f bei x0 steigt und f ' (x0) existiert, dann ist f ' (x0) ![]() |
3. | Untersuche das mögliche Verhalten von f bei x0 ,
wenn f ' (x0) = 0 ist. Wähle als Beispiele
x ![]() ![]() ![]() ![]() |
4. | Zeige: Die Funktion x ![]() |
||||
5. | An welchen Stellen steigt bzw. fällt die Funktion f ? Skizziere auf Grund der Ergebnisse den Graphen von f . | ||||
a) | f (x) = 2 x² - 3 x + 4 | b) | f (x) = - 3 x² + 2 x - 5 | ||
c) | f (x) = x³ - 3 x² - 13 x + 15 | d) | f (x) = 3 x - x³ | ||
6. | Beweise den Satz 2 algebraisch aus der Ungleichungskette D . |
7. | Beweise mit Hilfe des Globalen Monotoniesatzes: | |
a) | Wenn f ' ![]() ![]() dann f (v) - f (u) ![]() (Anleitung zeige: ( M x - f (x) ) ' = M - f ' (x) ![]() |
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b) | Wenn m ![]() ![]() dann m ( v - u ) ![]() (Anleitung zeige: ( f (x) - m x ) ' = f ' (x) - m ![]() |
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Diese Aufgabe enthält in beiden Teilen den Beweis des Schrankensatzes, (Satz 5 in 7.2 Globale Monotoniesätze). |
8. | Es sei f ' ![]() ![]() Dann ist f (v) - f (u) ![]() Beweise diesen Satz mit dem Globalen Monotoniesatz. Beachte ( g - f ) ' = g ' - f ' . |
9. | Zeichne f : x ![]() ![]() Bestätige: |
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a) | f steigt bei 0 | |
b) | f ' (0) = 1 | |
c) | f ist in keinem Intervall um Null monoton steigend oder fallend. |
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8. Anwendungen II