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AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung |
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7.1 Lokale Monotoniesätze
7.2 Globale Monotoniesätze
| 1. | Zeige, dass die Umkehrung von Satz 2 falsch ist. |
| 2. | Beweise: Wenn f bei x0 steigt und f ' (x0) existiert, dann ist f ' (x0)  0 . |
| 3. | Untersuche das mögliche Verhalten von f bei x0 ,
wenn f ' (x0) = 0 ist. Wähle als Beispiele
x  x3 ,
x - x3 ,
x x4 und
x - x3 . |
| 4. | Zeige: Die Funktion x | x |
ist bei x = 0 nicht L-differenzierbar. Beachte Satz 1 . |
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| 5. | An welchen Stellen steigt bzw. fällt die Funktion f ? Skizziere auf Grund der Ergebnisse den Graphen von f . | ||||
| a) | f (x) = 2 x² - 3 x + 4 | b) | f (x) = - 3 x² + 2 x - 5 | ||
| c) | f (x) = x³ - 3 x² - 13 x + 15 | d) | f (x) = 3 x - x³ | ||
| 6. | Beweise den Satz 2 algebraisch aus der Ungleichungskette D . | ||||
| 7. | Beweise mit Hilfe des Globalen Monotoniesatzes: | |
| a) | Wenn f '  M in I
und u, v  I und u < v ,
dann f (v) - f (u) m ( v - u ) .
(Anleitung zeige: ( M x - f (x) ) ' = M - f ' (x) 0 .) |
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| b) | Wenn m f ' in I
und u, v I und u < v ,
dann m ( v - u ) f (v) - f (u) .
(Anleitung zeige: ( f (x) - m x ) ' = f ' (x) - m 0 . |
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| Diese Aufgabe enthält in beiden Teilen den Beweis des Schrankensatzes, (Satz 5 in 7.2 Globale Monotoniesätze). | ||
| 8. | Es sei f ' g ' in I
und u, v I und u < v .
Dann ist f (v) - f (u) g (v) - g (u) .
Beweise diesen Satz mit dem Globalen Monotoniesatz. Beachte ( g - f ) ' = g ' - f ' . |
| 9. | Zeichne f : x x + x² sin( 1/x )
und 0 0 in einer U (0) .
Bestätige: |
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| a) | f steigt bei 0 | |
| b) | f ' (0) = 1 | |
| c) | f ist in keinem Intervall um Null monoton steigend oder fallend. | |
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8. Anwendungen II
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