Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

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 15. Weitere Integrationsmethoden

 
15.2 Partielle Integration

		Die Produktenregel kann umgeformt werden zu
			u v ' = u v - u ' v
		wobei  u  und  v  Funktionen mit stetiger Ableitung über einem Intervall  [ a | b ]  seien. Dann existieren auch die Integrale auf beiden Seiten über  [ a | b ]  mit
			b  u · v '  =  [ u · v ]  b a   -   b  u ' · v a a	Regel der partiellen Integration

Beispiel:

Gesucht sei

b

ln x dx    .

a

v '

u

Schreibt man

b

ln x dx  =

b

dx  =   [ x · ln x ]

b a

-

b

x ·

1 x

dx  =   b ln b - a ln a - ( b - a )

1

·

ln x

a

a

a

Man kann die Regel natürlich auch unter Weglassung der Integrationsgrenzen zur Bestimmung von Stammfunktionen benutzen. Im Beispiel

ln x dx  =

1 · ln x dx  =   x · ln x -

x ·

1 x

dx   =  x · ln x - 1 + C

Beispiel:

x · sin x dx

Man setzt  u (x) = x  und  v ' = sin x ; dann ist  u ' (x) = 1  und  v (x) = - cos x . Es folgt:

x · sin x dx  =  - x cos x -

1 · ( - cos x ) dx  =  - x cos x + sin x + C

 
15.3 Integral von Umkehrfunktionen

Die Funktion sei L-stetig und umkehrbar mit der Umkehrfunktion   . Anschaulich bestätigt man an Hand der Zeichnung leicht

		b	f  +	f (b)		=   b · f (b) - a · f (a)	Integralformel der Umkehrfunktion
		a		f (a)

Im folgenden Beweis sind die Argumente zu ergänzen:
Falls  f  zusätzlich L-differenzierbar ist, gilt

	b	f (x) dx  =	b	1 · f (x) dx  =  [ x · f (x) ]			b a	-	b	x · f ' (x) dx  =
	a		a						a
=				b · f (b) - a · f (a) -	b		( f (x) · f ' (x) ) dx
					a
=				b · f (b) - a · f (a) -	f (b)			(z) dz    ,
					f (a)

womit die obige Formel bewiesen ist.

Beispiel:

16		4		dy = 16 · 2 - 1 · 1 -	2	x4 dx =	4 5	· 31  ,
1					1

was man hier leicht durch direkte Integration kontrollieren kann. Die Integrationsformel funktioniert auch dann, wenn    nicht explizit angebbar ist.

Aufgaben zu 15.

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