Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

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 9.4 Die Existenz von Inhaltsfunktionen

 
Bemerkungen

1. Der Existenzbeweis ist noch nicht ganz vollständig. Man kann ja mit einer anderen Zerlegung beginnen und braucht auch die Verfeinerung der Zerlegung nicht unbedingt durch Halbieren vorzunehmen. Es ist noch zu beweisen, dass jedes analoge Vorgehen zum gleichen Ergebnis führt.
   Zum Beweis beachte man, dass für Zerlegungen  ₁ ,  ₂  allgemein definiert wird
                          ₁  feiner als  _{2      2   1} .
   Weiter ist  _{1      2}  (kleinste) gemeinsame Verfeinerung von  ₁  und  ₂ .
   

   Mit Verfeinerung nimmt	b	si    nicht ab und	b	Si     nicht zu.
   	a		a

   Nun sei

   * i

   eine zweite Folge von Zerlegungen von  [ a | b ]  mit den Sägezahnkurven  s

   * i

   und  S

   * i

   .

   Dann sei  _i  die Folge der Zerlegungen bestehend aus den gemeinsamen Verfeinerungen von  _i  und  _i^* .
   Die zugehörigen Sägezahnkurven seien  _i  und  _i .

   Aufgabe 3
   

   Zeige               [

   b

   i  |

   b

   i  ]        [

   b

   si  |

   b

   Si  ]        [

   b

   s

   * i

   |

   b

   S

   * i

   ]

   a

   a

   a

   a

   a

   a

   Hieraus folgt, dass alle drei Intervallschachtelungen dieselbe Zahl

   b

   f  bestimmen.

   a

2. Es ist also gleichgültig, mit welcher Zerlegung man die Intervallschachtelung startet. Besonders einfach ist häufig die Zerlegung von  [ a | b ]  in gleichlange Teilintervalle. Die Länge der Teilintervalle bezeichnet man mit   x ( = x_i - x_i-1 ) . Daraus ergibt sich aus Fig. 1, dass die Summe

   n-1	f (xi) ·  x  in allen Intervallen der zugehörigen Schachtelung  [	b	si |	b	Si ] enthalten ist.
   i=0		a		a
   Das bedeutet,   dass diese Summe dem bestimmten Integral		b	f  beliebig nahe kommt,
   		a

   falls   x  beliebig klein wird. Wir schreiben dafür

   				f (xi) ·  x  =	b	f (x) dx
   	lim
   	x 0		i		a

   
   Dies ist eine für praktische Anwendungen sehr wichtige Darstellung des bestimmten Integrals. Der Grenzwert existiert zumindest immer dann, wenn die Funktion  f  über  [ a | b ]  L-stetig ist.

3. Die Bemerkung 2 macht auch die von Leibniz eingeführte Integralschreibweise plausibel:

   (stilisiertes S) ,    f (xi) ·  x

   f (x) dx ,

   worin aber  f (x)  und  dx  keine selbständige Bedeutung als Faktoren haben und die "Variable"  x  nicht frei, sondern gebunden ist

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