netSCHOOL AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung
[  I N H A L T  ]     [ MATHEMATIK Übersicht ]

Aufgaben 16 bis 21 zu
14. Exponential- und Logarithmusfunktionen

  1. Berechne
      a.     5 1  dx           b.     5  ( 2 +  3  ) dx           c.     8 3  dx
         
      x x x - 1
      3 1 4
      d.     3 5  dx           e.     1 - 2  dx           f.     6 2 x + 5  dx
           
      2 x + 4 2 - x x + 2
      0 -2 1
      g.     -½ 3 x² + 2 x + 1  dx           h.     0  (  1  + 2 ) dx           i.     +1 1  dx
         
      x x + 3 2 x + 3
      -3 -2 -1
    k.     e  lg x dx           l.     5  log2 x dx           m.     1  lg ( 4 x + 1 ) dx
    1 1 0
      n.     -1 1  dx           o.     1 1  dx           p.     -4 x  dx
           
      x 2 x - 3 x + 2
      -3 -3 -6

  2. Vergleiche die Kurven der Funktionen
    a.     y = ex           y = 10x           y = 2x           y = 0,1x           y = ( ½ )x
    b. y = ln x   y = lg x   y = log2 x   y = log0,1 x   y = log0,5 x

  3. Warum kann man Logarithmen mit negativen Basen nicht definieren?

  4. Diskutiere und stelle wesentliche Teil der Kurve dar:
    a.     y = x · ln x           b.     y =  ln x
      x    		           c.     y =    x  
    ln x
    d.     y = x² · ln x           e.     y =  ln sin x           f.     y =  ln² x
    g.     y = ln ( 4 x - x² )           h.     y =            i.     y =  x² - ln x²
    k.     y = ln² x - ln x           l.     y =  ln ( 1 + x² )           m.     y =  ½ x² - ln x
    n.     y = x ( x - 2 ) · ex           o.     y =  x · e-x           p.     y =  e-x · sin x
    q.     y = ex + e-x           r.     y =  ex - e-x           s.     y =  x · e-x²
    t.     y = e- ½ x ²           u.     y =     ex           v.     y =  e1/x
    x² - 9
    w.     y = e- | x |           x.     y =            y.     y = 
      z. y = 

  5. Logarithmische Ableitung
    Wenn die Funktion  f  differenzierbar und positiv ist, dann ist
              ( ln f (x) ) ' =  f ' (x)
     f (x)
    oder
      f ' (x) =  f (x) · ( ln f (x) ) '

    Beweise dies im einzelnen. Die Methode heißt logarithmisches Differenzieren.
    Anwendungsbeispiel:
    Es sei  f (x) = xx  . Dann ist  ln f (x) = x · ln x  .   ( x > 0 )
    Also
              ( ln f (x) ) ' =  f ' (x)   =  ln x + 1
     f (x)
    und damit
      f ' (x) =  xx · ( 1 + ln x )

    Bestimme analog die Ableitungen von
    a.     y = x-x             b.     y = x1/x             c.     y = x ln x
    d.     y = ( 1 + x )x             e.     y = ( 1 + 1/x )x             f.     y = ( 1 + 1/x )x + 1

  6. Logarithmische Integration
    Zeige: Wenn die Funktion  f  über  [ a | b ]  differenzierbar ist und keine Nullstelle hat, gilt
                  c · f ' (x)  dx  =  c · ln | f (x) | + C    ;         c 0 , C
    f (x)
    Beispiel
    Es sei y =    3 x² über +
    x³ + 12

    Setzt man  f (x) = x³ + 12 , so ist  f ' (x) = 3 x²  und
                    3 x²  dx  =  ln ( x³ + 12 ) + C  .
    x³ + 12

    Die Methode der logarithmischen Integration gelingt in der Regel bei Quotienten von Funktionen, wenn der Zähler bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners ist.
    Bestimme Stammfunktionen zu
    a.     y =  x             b.     y =  x + 1             c.     y =  ex - e-x
    x² + 1 x² + 2 x + 10 ex + e-x
    d. y =  tan x   e. y =  cot x   f. y =  ex
    ex + b
 

Aufgaben 22 bis 25 zu    14. Exponential- und Logarithmusfunktionen  

 zurück zu MATHEMATIK Übersicht