netSCHOOL Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript
Differential- und Integralrechnung
für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde
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 3. Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion
 

4. Ganzrationale Funktionen

4.1 Wiederholung

      Übungen zur Wiederholung

 
4.2 Definition ganzrationaler Funktionen - Polynome

Jede Zuordnung
x an xn + an-1 xn-1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0     über mit an 0 und ai
heißt eine ganzrationale Funktion n-ten Grades.
Der Funktionsterm (rechts vom Zuordnungspfeil) heißt Polynom n-ten Grades.
 
Z.B. ist   id: x x   eine ganzrationale Funktion 1. Grades,
qu: x   eine ganzrationale Funktion 2. Grades,
Pn: x xn   (Potenzfunktion) eine ganzrationale Funktion n-ten Grades,
  x a0 a0 0 (konstante Funktion) hat den Grad Null.
Für die Nullfunktion   x 0   wird kein Grad definiert.

 
4.3 Berechnung von Funktionswerten nach dem Horner-Schema

Beispiel:   Zeichne die Funktion f mit f (x) = 4 x³ - 21 x² + 18 x + 12 .
Die Berechnung von Funktionswerten wird einfacher und auch maschinengerechter, wenn man im Funktionsterm sukzessive ausklammert:
f (x) = ( 4 x² - 21 x + 18 ) · x + 12
= [ ( 4 x - 21 ) · x + 18 ] · x + 12
z.B. ist f (2) = [ ( 4 · 2 - 21 ) · 2 + 18 ] · 2 + 12
= [ ( 8 - 21 ) · 2 + 18 ] · 2 + 12
= ( -13 · 2 +18 ) · 2 + 12
= ( -8 ) · 2 + 12
= -4

Die Berechnung läßt sich nach folgendem Schema übersichtlicher durchführen:

  4-21 18 12  1. Zeile: Koeffizienten des Polynoms f (x)
+    8-26-16  Pfeil bedeutet: mal x, hier mal 2
  
x = 2 |4-13-8-4 = f (2) Pfeile werden künftig weggelassen
gewählter x - Wert
Dieses Schema heißt Horner-Schema

Die Division von f (x) durch den Linearfaktor ( x - 2 ) ergibt:

( 4 x³ - 21 x² + 18 x + 12 ) : ( x - 2 ) = 4 x² - 13 x - 8 - 4 : (x - 2)
(-)   4 x³ -   8 x²      
    - 13 x²      
  (-)   - 13 x² + 26 x    
      -    8 x    
    (-)   -    8 x + 16  
         -   4  

(Bemerkung: Die Division von Summen ist eine Verallgemeinerung des Divisionsalgorithmus für ganze Zahlen - z.B. 1425 : 12 - und beruht wie dieser auf der Deutung der Division als Subtraktion gleicher Summanden.)

Man kann also schreiben:

       f (x) = 4 x³ - 21 x² + 18 x + 12 = -4 + ( x - 2 ) · ( 4 x² - 13 x - 8 )
\___________________/
  = -4 + ( x - 2 ) · g (x) g (x)

Die Koeffizienten des Polynoms g (x) stehen in der 3. Zeile des Horner-Schemas. Also können wir uns künftig die Division sparen. Es gilt - ohne dass wir den allgemeinen Beweis durchführen -
Zu jedem Polynom n-ten Grades und zu jeder reellen Zahl x0 gibt es ein Polynom (n-1)-ten Grades g (x), so dass
      ( 1 ) f (x) = f (x0) + ( x - x0 ) · g (x)      
  gilt. Die Koeffizienten von g (x) stehen in der 3. Zeile des Horner-Schemas.

Das Beispiel wird nun weiter bearbeitet. Die folgende Wertetabelle ist nach dem Horner-Schema zu überprüfen.
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 3,5 4 5
f (x) -140 -31 -2,75 12 16,25 13 -4 -15 -10,75 4 77

Polynom 3. Grades

Bild von f (x) = 4 x³ - 21 x² + 18 x + 12

Beispiel f (4,5)   4 -21 18    12       
+   18 -13,5 20,25  
 
 
x = 4,5 | 4 -3 4,5 32,25 = f (4,5)
f (x) = 32,25 + ( x - 4,5 ) ( 4 x² - 3 x + 4,5 )

Man erkennt, dass schon bei diesem Beispiel das genaue Bestimmen des Graphen ohne Maschinen mühevoll ist. Die Differenzialrechnung stellt wirksamere Methoden zur Verfügung.

 

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